Окончил в 1971 году Астраханский государственный педагогический институт. Выступал за "Трудовые резервы" (Астрахань). Провел 249 боев, одержал 237 побед. Награжден орденом «Знак Почета».
Олимпийский чемпион 1972 г. (первый олимпийский чемпиона среди астраханских спортсменов), серебряный призер первого чемпионата мира (1974 г.). Входил в число 71 боксера страны, удостоенного Федерацией бокса СССР редкого звания «Выдающийся боксер». В память о нем в Астрахани регулярно проводится всероссийский юношеский турнир. После окончания спортивной карьеры создал в Астрахани детскую школу бокса, которой руководил.
Борис Кузнецов боксом начал заниматься в 1958 году у тренера В. Белокосова. Но первый свой официальный бой провёл лишь в 1961 году, в 14-летнем возрасте. Борис с самого начала отличался очень нестандартной манерой ведения боя. Обладая блестящими рефлексами и невероятной координацией, Кузнецов не стал, как подавляющее большинство начинающих боксёров, работать в прививаемой тренерами классической манере. Наоборот, во время боя он всегда старался работать в открытой стойке с опущенными руками. На первый взгляд, его манера казалась авантюрной и нерациональной. Но достаточно было любому критику взглянуть на действия Бориса в ринге, как весь его скептицизм рассеивался мгновенно. Чем больше Кузнецова узнавала боксёрская общественность того времени, тем всё чаще его стали сравнивать с гениальным Виктором Агеевым. Движения Бориса, правда, не обладали такой потрясающей кошачьей мягкостью, какова была присуща Агееву. Но у Кузнецова были свои козыри: его движения были более резкими, а значит, и чрезвычайно неожиданными для соперников. К тому же, все эти качества позволяли Борису ещё и очень эффектно и зрелищно смотреться на ринге, что очень ценилось в те времена специалистами бокса.
В 1965 и 1966 годах он становится чемпионом СССР в своей возрастной категории, и в том же 1966-м выходит победителем прошедшего в Берлине очень представительного международного турнира "Олимпийские надежды". Правда, когда Кузнецов начал выступать в соревнованиях среди взрослых, то на первых порах у него получалось не всё. При смелой и открытой манере ведения боя Борису поначалу не раз хорошенько доставалось в поединках с мастеровитыми соперниками. Но те временные неудачи не заставили Кузнецова изменить себе. Даже пропуская сильные удары, он всё так же действовал с опущенными руками, приноравливался к опытным противникам, шлифовал защитные навыки стремительными нырками и уклонами, оттачивал чувство дистанции, повышал тактическую грамотность, отшлифовывал головоломные для соперников финты. Все эти наработки Борис с успехом реализовал в последующие годы.
Правда, на пути к боксёрским вершинам в жизни Кузнецова случился не очень приятный и достаточно необычный эпизод. Когда Борис решил жениться, его личный тренер Белокосов категорически этому воспротивился. Молодому боксёру пришлось принимать нелёгкое и в какой-то мере даже судьбоносное решение. Кузнецов женился, но потерял тренера. В тот нелёгкий момент Борису очень помог его друг детства Александр Чаплыгин. Парни хорошо знали друг друга по многолетним тренировкам, и начавший после того неприятного случая опекать Кузнецова Чаплыгин со временем заменил ему наставника. Именно под руководством Чаплыгина Борис добился самых больших успехов в своей спортивной карьере.
У Кузнецова были шансы поехать на Олимпийские игры 1968 года в Мехико, но преградой этому стали его тогда ещё довольно нестабильные результаты на внутрисоюзных соревнованиях. Хотя блеклые бои у Бориса чередовались с просто-таки блестящими выступлениями. Так, Кузнецову незадолго до олимпиады удалось победить сразу двух боксёров, которые вскоре стали олимпийскими чемпионами – своего соотечественника и вечного соперника Валериана Соколова и мексиканца Антонио Ролдана. Тогда-то Борис окончательно понял, что вполне способен и сам завоёвывать медали самых крупных международных турниров.
В 1970 и 1971 годах он становился серебряным призёром первенства СССР, что тоже было шагом вперёд. А вот 1972-й, олимпийский год уже всецело остался за астраханцем. Сначала Борис взял реванш у Валериана Соколова за поражение в прошлогоднем финале чемпионата Советского Союза и впервые стал победителем главных всесоюзных соревнований. А затем настал черёд и олимпийского триумфа. На Игры в Мюнхен 25-летний Кузнецов поехал не просто в составе сборной команды страны, а и в качестве её капитана. И высокое доверие тренеров и руководства федерации бокса СССР Борис оправдал сполна. С самым грозным соперником на турнире Борис должен был встретиться в финале. Для кенийца Филипа Варуинги это была уже третья олимпиада. В 1968 году он стал бронзовым призёром и обладателем Кубка Вэла Баркера и вот теперь намеревался в конце концов взобраться на олимпийскую вершину. Сразу после боя сам Борис Кузнецов так прокомментировал происходившее в ринге: "Варуинги словно лом зажал в правой руке. Если бы я шёл всё время вперёд, это могло бы плохо кончиться. А левой я его всегда доставал. И серии у меня получались. Наверное, со стороны это выглядело не очень эффектно, но я чувствовал, что всё делаю правильно". Грозный африканец так и не сумел подловить реактивного противника на свой убийственный удар правой и после финального гонга лишь в отчаянии ударил им по канатам. Правда, и сам Кузнецов нанёс не так уж много точных попаданий. Борис действовал осторожно, чётко и выверенно. Возможно, двое боковых судей, что называется, повелись на активность кенийца. Лишь этим можно объяснить то, что победа советскому боксёру была отдана лишь с близким счётом 3:2. Но это уже не имело принципиального значения, и вскоре в зале прозвучал гимн СССР.
Видимо, несколько расслабившись после столь значительного триумфа, в следующем году Борис Кузнецов уступил на чемпионате Европы в Белграде уже в 1/16 финала старому сопернику румыну Габриэлу Пометку. Так вышло, что Кузнецов лишь раз участвовал в этих соревнованиях, да и то безуспешно. Зато в 1974 году Борис снова обрёл боевой тонус и во второй раз в своей карьере завоевал звание чемпиона СССР, победив в тяжёлом финальном бою со счётом 3:2 своего извечного соперника Валериана Соколова. Этот успех позволил ему отправиться в составе сборной команды страны на первый чемпионат мира, который состоялся на Кубе. Уверенно победив в первых четырёх боях и дойдя до финала, Кузнецов был самым наглым образом засужен в решающем поединке с американцем Ховардом Дэвисом (ставшим впоследствии олимпийским чемпионом на Играх 1976 года).
Борис знал, что этот первый в истории любительского бокса чемпионат мира станет лебединой песней в его длинной боксёрской карьере. К сожалению, исключительно из-за продажных служителей Фемиды выдающемуся советскому боксёру не удалось завершить выступления в боксе на волне триумфа. Но всегда спокойный и взвешенный по жизни чемпион из Астрахани принял этот удар судьбы стойко и невозмутимо. Итоговый послужной список ринговых баталий Бориса Кузнецова насчитывает 249 поединков, в 237 из которых рефери поднимали его руку. Закончив выступления на ринге, Борис Георгиевич не порвал связей с боксом. У себя в Астрахани он создал детско-юношескую школу бокса и стал её директором. Ещё при жизни Бориса Георгиевича в Астрахани начал проводиться ежегодный всероссийский турнир класса "Б" среди взрослых и юношей его имени. Скончался Борис Кузнецов 3 мая 2006 года на 60-м году жизни.
